Análisis experimental de un péndulo físico con punto de suspensión variable

Publicado en el blog de Martín Monteiro .
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«Análisis experimental de un péndulo físico con punto de suspensión variable»
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Martín Monteiro (1), Cecilia Stari (2), Cecilia Cabeza (3), Arturo C. Martí (3)

Universidad ORT Uruguay
Instituto de Física, Facultad de Ingeniería, Universidad de la República, Uruguay
Instituto de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de la República, Uruguay

Resumen

Se analiza experimentalmente un péndulo físico con punto de suspensión variable (y consecuentemente, con momento de inercia variable). En particular, se mide el período de las pequeñas oscilaciones en función de la posición del punto de suspensión, utilizando tres métodos diferentes: un smartphone utilizado como instrumento de medida directa, un smartphone utilizado como tarjeta adquisidora de datos y una interfaz comercial. Los resultados experimentales se comparan exitosamente con los cálculos teóricos basados en la suma de momentos de inercia y el teorema de Steiner.

El péndulo físico.
Los conceptos sobre inercia y torque son de suma importancia en casi todos los cursos introductorios de Física, a veces en secundaria y sobre todo en los cursos introductorios de nivel universitario, así como en formación docente. En particular, uno de los ejemplos típicos es el péndulo físico (también conocido como péndulo compuesto) que consiste en un cuerpo rígido que puede girar libremente alrededor de un eje horizontal a través de un centro fijo de suspensión. El período de las pequeñas oscilaciones, T, depende de la masa M, la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa R y el momento de inercia I como

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M g R}} \) (1)

donde g es la aceleración gravitatoria.

En el experimento propuesto aquí, el período de las pequeñas oscilaciones de un péndulo físico cuyo punto de suspensión y por lo tanto su momento de inercia, se puede controlar, se analiza experimentalmente utilizando diferentes tecnologías modernas [1, 2, 3, 4]. Como implica conceptos clave en la mecánica clásica y puede implementarse fácilmente en prácticamente cualquier laboratorio de Física, el presente experimento podría alentar el interés y la motivación de los estudiantes para experimentar por sí mismos.

Implementación experimental.
La configuración experimental, representada en la figura 1, consiste en una barra metálica rígida con agujeros equiespaciados y un smartphonedel punto seleccionado. Las dimensiones de la barra, con agujeros hechos en puntos separados a una distancia uniforme de 1,0 cm, son L = 1,199 m, ancho w = 0,024 m, y masa M = 0,2518 kg. El smartphone es un Nexus 5, con una masa m = 0,1311 kg, longitud Ls = 0,135 m y ancho ws = 0,068 cm. La distancia desde el punto de suspensión, O, al centro de masa de la barra, C, es z, mientras que la distancia desde C al centro de masa del smartphone es zs.

Figura 1. Configuración experimental que consiste en una barra con puntos de suspensión equiespaciados y un smartphone. Las etiquetas se describen en el texto.

Usando la ecuación 1 y las características geométricas del sistema, el período del péndulo físico en régimen de pequeñas oscilaciones se puede escribir como

\( T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{\left( \left(M + m \right) z + m z_s \right) g}} \) (2)

donde el momento de inercia, \( I \) , se obtiene como la suma de los aportes de la barra y el smartphone, \( I = I_{bar} + I_{s} \). Aplicando el conocido teorema de Steiner, los momentos de inercia se pueden expresar como

\( I_{bar} = \frac{1}{12} M \left( L^2 + w^2 \right) + M z^2 \) (3)

\( I_{s} = \frac{1}{12} m \left( L_{s}^2 + w_{s}^2 \right) + m \left( z + z_{s} \right)^2 \) (4)

Métodos y análisis.
El período de péndulo físico se midió mediante tres métodos experimentales diferentes:

Phyphox: las medidas se obtienen directamente en la pantalla del smartphone utilizando una versión mejorada de la herramienta Pendulum de la app Phyphox. A partir de una serie temporal de velocidad angular (aproximadamente 30 segundos) proporcionada por el giroscopio, la aplicación calcula automáticamente el período por medio de una función de autocorrelación (similar a una FFT pero tomando la correlación entre máximos de varios ciclos). La ventaja es que es una medida directa para la cual solo se necesita un smartphone y una app gratuita.

Vernier: las medidas se obtienen utilizando una interfaz Vernier LabQuest y una barrera óptica. La ventaja es que los valores se obtienen incluso sin haber un smartphone montado en la barra. La desventaja es que es necesario disponer de una interfaz comercial o algún sistema casero equivalente.

Androsensor: las medidas se guardan en el smartphone como si fuera una tarjeta adquisidora de datos, para luego procesarlas en una computadora. En este procedimiento, se tomó una serie temporal del giroscopio (eje z) durante 10 segundos y se guardó en el smartphone usando la app Androsensor. Los archivos .csv generados (uno para cada punto de suspensión) se exportaron a la computadora y se analizaron utilizando software específico (en este caso, Scilab) y mediante un ajuste sinusoidal se obtuvo el período de oscilación para cada punto de suspensión. Este método puede ser útil para cursos experimentales en los que los estudiantes deben desarrollar técnicas de tratamiento de datos e implementar algoritmos de procesamiento de señales en diferentes lenguajes como Python o Matlab.

Figura 2. Resultados experimentales (símbolos) y modelo teórico (línea continua) para el período de las pequeñas oscilaciones en función de la distancia del punto de suspensión al centro de la barra. El error cuadrático medio de cada método experimental con respecto al modelo teórico es: 5,0 ms (Phyphox), 4,0 ms (Vernier) y 3,7 ms (Androsensor).

Los resultados experimentales obtenidos mediantes los tres métodos descritos y la predicción teórica, representados en la figura 2, muestran un gran acuerdo. Los errores cuadráticos medios con respecto al modelo teórico, también indicados en el texto de la figura, revelan que los tres métodos, cada uno con sus pros y sus contras, son posibles implementaciones del presente experimento. También vale la pena señalar que el período muestra un mínimo para una distancia particular al centro de la barra. Este punto también podría ser objeto de una interesante discusión en el aula. En resumen, presentamos un experimento simple que involucra conceptos relevantes de mecánica clásica utilizando tecnologías modernas que pueden implementarse fácilmente en un laboratorio de Física.

Nos gustaría agradecer a Sebastian Staacks, desarrollador de PhyPhox, quien hizo una versión más precisa del experimento «Pendulum» especialmente para el propósito de este trabajo. El experimento se puede instalar siguiendo este QR:

Agradecimientos: Reconocemos el apoyo financiero del CSIC (UdelaR, Uruguay) y el Programa de Desarrollo de las Ciencias Básicas (Uruguay).

Referencias

[1] M. Monteiro, C. Cabeza, and A. C. Martí.
«Exploring phase space using smartphone acceleration and rotation sensors simultaneously»
European Journal of Physics, 35(4):045013, 2014.

[2] M. Monteiro, C. Cabeza, and A. C. Martí.
«Rotational energy in a physical pendulum»
The Physics Teacher, 52:561, 2014.

[3] M. Patrinopoulos and C. Kefalis.
«Angular velocity direct measurement and moment of inertia calculation of a rigid body using a smartphone»
The Physics Teacher, 53(9):564–565, 2015.

[4] I. Salinas, M. Gimenez, J. Monsoriu, and J. Sans.
«Demonstration of the parallel axis theorem through a smartphone»
The Physics Teacher, 57(5):340–341, 2019