Categoría: Física Martín

Una varilla vertical liviana, de longitud L, es libre de moverse en un plano vertical, en torno a un eje que pasa por su extremo superior, sin rozamiento. Una pequeña esfera de masa m y carga +q está unida al extremo inferior de la varilla. Otra pequeña esfera de carga –q se encuentra fija en un punto que está a una distancia L directamente por encima del eje. Después de una pequeña perturbación, la varilla oscila a un lado y a otro en un plano vertical.

Determine el período de ese movimiento.

Consideremos el triángulo isósceles \( O, q. -q \). El ángulo \(q, O, -q \) es \( 180^{\circ} – \theta \), entonces el ángulo \( O, q, -q \) es \( \theta / 2 \).

De modo que la distancia entre las cargas es \( r = 2 L cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \).

Fuerzas involucradas:

Módulo del Peso: \( P = m g \)

Módulo de la fuerza eléctrica: \( F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \)

Teniendo en cuenta que la masa está restringida a moverse en una trayectoria circular, entonces para la ecuación del movimiento de la masa solo es necesario considerar las componentes tangenciales de las fuerzas, es decir el peso y la fuerza eléctrica (la varilla no realiza fuerza en la dirección tangencial).

Componentes tangenciales de las fuerzas:

Componente tangencial del Peso: \( P_t = – P sin \left( \theta \right)  \)

Módulo de la fuerza eléctrica: \( F_t = F sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \)

Entonces la ecuación de movimiento es,

\[ – m g sin \left( \theta \right) + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{\left( 2 L cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \right)^2} sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = m L \ddot{\theta} \]

Para ángulos pequeños. son válidas las siguientes aproximaciones de primer orden:
\[ sin \left( \theta \right) \approx \theta \]
\[ sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \approx \frac{\theta}{2} \]
\[ cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \approx 1 \]

Entonces,

\[ – m g \theta + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{\left( 2 L \right)^2} \frac{\theta}{2} \approx m L \ddot{ \theta} \]

Y,

\[ \ddot{ \theta} \approx  – \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} \right) \theta \]

Donde tenemos dos casos. Si \( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} > 0 \) , entonces la posición más baja de la masa es de equilibrio estable. En el otro caso es inestable.

Reescribiendo,

1) Estable: \( m g > \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 L^2} \)
En este caso, ante una perturbación, ocurren oscilaciones armónicas alrededor de la posición más baja.

2) Inestable: \( m g \leq \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 L^2} \)
En este caso, ante una perturbación, la componente tangencial de la fuerza eléctrica es mayor que la componente tangencial del peso y entonces la masa se mueve hacia arriba hasta que las dos cargas se tocan.

Finalmente, para el caso estable, concluimos, a partir de la ecuación de movimiento, que la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones es,

\[ \omega = \sqrt{ \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} \right) } \]

Y el período de movimiento es,

\[ T = \frac{2 \pi}{\sqrt{ \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi  \epsilon_0 m L^3} \right)}} \]

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Esta noche, en el Museo Nacional de Artes Visuales, tuvimos la gran oportunidad de conocer a la prestigiosa historiadora de la ciencia, Lorraine Daston, doctorada en Harvard en 1979 y desde hace 24 años directora del Department II, del Max Planck Institute for The History of Science. La actividad estuvo organizada por el Archivo General de la Universidad (AGU), con apoyo del Goethe Institut-Uruguay y de la Academia Nacional de Ciencias del Uruguay.

Ante un auditorio desbordante, con gente sentada hasta en el piso, Daston ofreció una elocuente conferencia sobre la historia del cálculo y la inteligencia humana: “Big Calculation and the History of Intelligence.”

La previa a la conferencia de Daston, estuvo a cargo de las organizadoras, Vania Markarian e Isabel Wschebor, quienes expusieron brevemente las tareas de preservación de archivos a la que se dedica el AGU, a través del Laboratorio de Preservación Audiovisual, en particular la conservación y digitalización de archivos científicos. Con tal motivo proyectaron algunas de las películas rescatadas del antiguo Instituto de Cinematografía de la Udelar (ICUR).

La última de las películas presentadas en esta introducción fue “Computación en la Universidad”, en cierto modo muy relacionado con la conferencia que a continuación ofreció Daston. En esa película se relata cómo las máquinas han potenciado la capacidad física del ser humano y cómo de forma análoga, las computadoras han potenciado la capacidad intelectual. Se muestra la creación del Centro de Computación de la Facultad de Ingeniería, con la llegada de la primera computadora IBM en el año 1968 y el Ingeniero Luis Osín explica cómo trabaja con las primitivas tarjetas perforadas. Puedes verlo en este enlace.

NOTAS RELACIONADAS:

• Preservación de Soportes Sonoros
• Astronomía y Patrimonio Audiovisual. El Eclipse Solar de 1938

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En este trabajo se investiga teórica y experimentalmente la dinámica de un juguete tradicional, el yo-yo, utilizando los sensores de un teléfono inteligente. En particular, utilizando el giroscopio se mide la velocidad angular. Los resultados experimentales se complementan con un análisis de video digital. Al final se discute la concordancia entre los resultados teóricos y experimentales. Como el yo-yo es un juguete ubicuo, simple y tradicional, esta sencilla propuesta podría animar a los estudiantes a experimentar con objetos cotidianos y tecnologías modernas.

Un yo-yo, como el que se muestra en el panel izquierdo de la Fig. 1, es un juguete tradicional cuyo origen se remonta, al menos, a la antigua Grecia. Se compone de dos discos unidos por un eje y una cuerda enrollada alrededor del eje. El/la jugador/a sostiene un extremo de la cuerda con su mano insertando un dedo dentro de un pequeño nudo para jugar con el yo-yo. En la versión más sencilla, el/la jugador/a deja caer el juguete por efecto de la gravedad, girando y desenrollando la cuerda. Cuando el yo-yo alcanza la posición más baja, rebota y comienza a subir mientras la cuerda se enrolla nuevamente en el eje. Para contrarrestar los efectos de la fricción, el/la jugador/a aplica pequeños empujes, hacia arriba o hacia abajo, cuando el yo-yo está subiendo o bajando respectivamente.

La dinámica de los yo-yos ha recibido poca atención en la literatura de física. Un dispositivo tradicional utilizado en los laboratorios introductorios de física, que comparte algunas de las características de los yo-yos, es la rueda de Maxwell. Este dispositivo se utiliza para investigar la cinemática y la dinámica de los discos giratorios y en particular, el concepto de momento de inercia. En un trabajo anterior [1], la dinámica de este aparato se estudió utilizando los sensores disponibles en ese momento. Aquí, nos centramos en el uso del yo-yo tradicional complementado con recursos modernos y generalizados, como los sensores integrados en los teléfonos inteligentes, para presentar un experimento que se puede implementar fácilmente en muchos laboratorios de física.

El uso de juguetes para enseñar física es un enfoque interesante para promover el involucramiento y la creatividad de los estudiantes [2]. Tradicionalmente, los juguetes han sido ampliamente utilizados como herramientas en demostraciones. Sin embargo, con frecuencia es difícil extraer resultados cuantitativos en experimentos de física con juguetes. Una posible estrategia para abordar esta dificultad es el uso de sensores de teléfonos inteligentes.

Los experimentos de física con sensores de teléfonos inteligentes se han expandido significativamente en los últimos años. Recientemente, en varios artículos publicados en la literatura, se ha propuesto el uso de teléfonos inteligentes en temas como oscilaciones [3], mecánica [4], óptica [5], y electromagnetismo [6], entre otros. Los experimentos de física que utilizan teléfonos inteligentes incluyen no solo experimentos en entornos de laboratorio tradicionales, sino también en lugares no tradicionales como parques de atracciones [7, 8, 9].

Los teléfonos inteligentes poseen un número creciente de sensores. Entre el espectro de sensores disponibles, el uso del giroscopio (también conocido como sensor de velocidad angular) ha recibido comparativamente menos atención que otros [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. Este sensor es claramente adecuado para experimentar en situaciones que involucran dinámicas de rotación. En algunos casos se puede utilizar junto con otros sensores, normalmente el acelerómetro [11, 12], para obtener una visión más convincente de ciertos fenómenos físicos interesantes. Aquí nos centramos en el sensor de rotación del teléfono inteligente para analizar la dinámica de un yo-yo.

Un breve análisis teórico se da en la siguiente sección. Después de eso, en la Sección 3, describimos la configuración experimental que consiste esencialmente en un yo-yo casero al que se adosó un teléfono inteligente. En el experimento propuesto, el yo-yo se lanza varias veces mientras el sensor giroscópico incorporado registra la velocidad angular. Para complementar el análisis, también registramos el experimento con una cámara digital. En la Sección 4 presentamos y discutimos los resultados. Gracias al sensor del teléfono inteligente, se mide la velocidad angular, mientras que la aceleración angular se obtiene fácilmente mediante un ajuste lineal. El ángulo, obtenido del análisis de video, permite obtener la aceleración angular utilizando un ajuste cuadrático. Comparamos la aceleración angular obtenida por ambos métodos y corroboramos su coherencia. Finalmente en la Sección 5 discutimos las conclusiones y las perspectivas. Este experimento, cuyos requisitos previos incluyen esencialmente un conocimiento básico de las ecuaciones de Newton, está dirigido a estudiantes de secundaria o de primer año universitario.

Consideramos un yo-yo con masa \( m \), que cuelga de una cuerda y que se mueve solo en la dirección vertical. La cuerda se considera inextensible y de masa despreciable. Las fuerzas aplicadas son la tensión de la cuerda, \( \vec T \), y el peso, \( m \vec g \) como se indica en la Fig. 1 (panel derecho) que actúan en la dirección vertical. Suponiendo que el eje \( y \) está orientado hacia abajo, la segunda ley de Newton se puede escribir como

\( m a_y = m g – T \)     (1)

donde \( a_y \) es la aceleración vertical del centro de masa.

Del mismo modo, consideremos la versión rotatoria de la segunda ley de Newton en el centro de masa. Suponemos que la tensión está aplica hacia arriba, a la derecha del centro de masa, a una distancia perpendicular que coincide con el radio del cilindro interno, \( r \), como se muestra en la Fig. 1. Suponiendo que los torques son positivos en sentido antihorario, entonces la ley de rotación se puede expresar como

\( I \alpha = T r \)     (2)

donde \( \alpha \) es la aceleración angular del yo-yo.

La tercera ecuación necesaria para resolver el problema proviene de la condición de rodadura sin deslizar del yo-yo con respecto a la cuerda y relaciona a la aceleración vertical con la aceleración angular. En la configuración que se muestra en la figura, esta ligadura es

\( a_y = \alpha r \)     (3)

La aceleración angular se puede obtener resolviendo las ecuaciones 1-3. Considerando la expresión que relaciona el radio de giro con el momento de inercia, \( I = m {r_g}^2 \) y sustituyendo, obtenemos la relación

\( \alpha = g \frac{r}{r^2 + {r_g}^2} \)     (4)

La ecuación 4 vincula la aceleración angular (constante) con las características físicas del yo-yo y la aceleración gravitacional cuando el yo-yo está subiendo o bajando a la izquierda de la cuerda, como se muestra en la Fig. 1. Sin embargo, cuando el yo-yo está a la derecha de la cuerda, el signo del torque producido por la cuerda y la condición de no deslizamiento cambian sus signos y entonces la aceleración angular, \( \alpha ‘ \), resultado teniendo el valor opuesto al de la ecuación 4

\( \alpha ‘ = – g \frac{r}{r^2 + {r_g}^2} \)     (5)

En un movimiento típico, el yo-yo se libera del soporte y cae a lo largo de un lado de la cuerda. En el punto más bajo, cuando la cuerda está completamente estirada, el yo-yo se comporta como un péndulo físico durante un período de tiempo muy breve. En este lapso, el yo-yo gira 180 grados alrededor del final de la cuerda y la velocidad vertical del centro de masa y la aceleración angular cambian su signo. Después de eso, el yo-yo comienza a escalar pero ahora a lo largo del lado opuesto de la cuerda. Como consecuencia de la conservación del momento angular, la velocidad angular al salir se conserva justo antes y justo después de que el yo-yo esté en el punto más bajo. El origen de la fuerza impulsiva aplicada por la cuerda en el yo-yo puede estar relacionado con la elasticidad de la cuerda o con los desplazamientos repentinos del soporte (o la mano del/a jugador/a).

La evolución temporal esperada de la velocidad angular deducida de las consideraciones anteriores se muestra en la Fig. 2. Al principio, el yo-yo cae a lo largo del lado derecho de la cuerda (período de tiempo 1). Cuando alcanza el punto más bajo, existe una fuerza impulsiva debido a la longitud finita de la cuerda y el yo-yo sube por el lado izquierdo girando en el mismo sentido, pero disminuyendo su velocidad angular (período de tiempo 2). Cuando llega al soporte, la velocidad angular es nula y el yo-yo vuelve a caer con la misma aceleración angular, por el lado izquierdo, pero ahora girando en sentido opuesto (período de tiempo 3). Finalmente, durante el último período, el yo-yo sube de nuevo pero por el lado derecho (período de tiempo 4).

3. Configuración experimental

La configuración experimental comprende solo un yo-yo y un teléfono inteligente con un sensor de rotación incorporado o giroscopio. Como los teléfonos inteligentes suelen ser más voluminosos que los yo-yos típicos, construimos un yo-yo casero que consta de dos discos de metacrilato (diámetro, \( D = 19,5 cm \) y espesor \( e = 0,8 cm \) ) unidos por un tubo de PVC (diámetro externo \( D_e = 5,0 cm \) y longitud \( l_e = 2,2 cm \) ) donde se enrolla la cuerda. En una de las caras exteriores del yo-yo, se fija un teléfono inteligente con su centro de masa coincidiendo con el eje del yo-yo, mientras que en la otra cara se coloca un contrapeso, de masa similar a la del teléfono.

El teléfono inteligente es un Samsung S8+ que incluye un giroscopio incorporado. En la Fig. 3 mostramos nuestro dispositivo experimental. La aplicación Physics Toolbox Suite [17] se utilizó para registrar los datos experimentales y exportar a un archivo CSV (valores separados por comas). En el panel inferior se puede apreciar una captura de pantalla de la aplicación que muestra la evolución temporal de la velocidad angular durante todo el movimiento.

4. Resultados

El yo-yo se sostiene con la cuerda enrollada y luego se libera mientras el teléfono inteligente registra la velocidad angular a lo largo de varios rebotes. En el panel superior de la Fig. 4 mostramos la evolución temporal de la velocidad angular durante un movimiento completo. Como se puede ver en el gráfico, en el momento inicial la velocidad angular es nula. Cuando se suelta el yo-yo, comienza a descender a medida que la cuerda se desenrolla y la velocidad angular aumenta en módulo. A diferencia del comportamiento discutido anteriormente, se puede ver que el gráfico muestra varias mesetas debido a la saturación del sensor cuando la velocidad angular alcanza \( 20 rad/s \) (este valor específico depende del teléfono inteligente empleado). En las sucesivas bajadas y subidas, la energía se disipa lentamente y la meseta desaparece.

La perspectiva general del comportamiento temporal mostrado en la Fig. 4, se puede entender a la luz de la discusión presentada en la sección 2. El diente de sierra comprende secciones con pendientes aproximadamente constantes cuyos valores (opuestos) corresponden a las ecuaciones 4-5. Además, los cambios de pendiente ocurren cuando el yo-yo alcanza el punto más bajo y los ceros corresponden al paso cerca del punto de apoyo (o la mano). En el panel inferior de la Fig. 4, se muestran dos ventanas temporales ampliadas. En cada intervalo, el yo-yo sube, alcanza el soporte y baja, pero, como se indica en el párrafo anterior, gira en direcciones opuestas.

Dado que aceleración angular es casi uniforme, realizamos un ajuste lineal,

La pendiente del ajuste corresponde en valor absoluto con la aceleración angular, resultando \( 65,00 rad/s^2 \) en el primer intervalo y \( 64,96 rad/s^2 \) en el segundo. Entre ambos resultados hay una discrepancia de apenas \( 0,06 \% \) dentro de las incertidumbres experimentales. Además, se puede notar en ambas ventanas temporales una pequeña concavidad en los gráficos de las velocidades angulares. Las causas de este fenómeno, a ser analizado en otro momento, podrían estar relacionadas con varios efectos, como el rozamiento de rodadura, la fricción no uniforme del hilo con las paredes del yo-yo o también el período de alternancia entre deslizamiento y rodadura, relacionado con la fricción estática y cinemática.

El análisis de video proporciona una herramienta útil para comparar con los resultados experimentales obtenidos con el sensor de rotación. El análisis se realizó a partir de fotogramas extraídos del video a 30 cuadros por segundo. En la parte superior de la Fig. 5 mostramos 7 cuadros consecutivos en los que el yo-yo está descendiendo. Para determinar los ángulos, marcamos el eje del teléfono aproximadamente con un segmento y obtenemos el ángulo con la vertical. El inconveniente de este método es que cuando el yo-yo alcanza una cierta velocidad es difícil visualizar la forma del teléfono. En el panel inferior de la Fig. 5 mostramos la variable angular en función del tiempo. Teniendo en cuenta el movimiento circular uniformemente acelerado, realizamos un ajuste cuadrático.

lo que resulta en una aceleración angular \( \alpha = 64,52 rad/s^2 \). Este valor aparece muy cerca del obtenido previamente usando el sensor del teléfono inteligente con solo una desviación de \( 0,7 \% \).

5. Conclusión

En este trabajo proponemos un experimento sencillo utilizando un juguete tradicional, el yo-yo y un dispositivo moderno, el teléfono inteligente, que involucra varios conceptos básicos de mecánica. Gracias al sensor giroscópico, la dinámica del juguete se puede analizar con precisión y comparar con los resultados obtenidos del análisis de video. El sensor giroscópico proporciona la velocidad angular y por medio de un ajuste lineal, también se pueden obtener las aceleraciones angulares. Analizamos un movimiento completo del yo-yo y luego enfocamos nuestra atención en dos ventanas temporales. Las aceleraciones en cada ventana son muy similares en módulo y también coherentes con los resultados obtenidos al analizar cuadro por cuadro el video. Se debe enfatizar que, dependiendo de la altitud de lanzamiento, el sensor del teléfono inteligente no puede registrar todo el rango de valores de velocidad angular. Una característica importante de algunos sensores de teléfonos inteligentes a tener en cuenta es que proporcionan medidas con respecto al propio teléfono inteligente. Por ejemplo, el acelerómetro mide la aceleración en un marco en movimiento (que es relativo al teléfono inteligente) [11]. En cambio el sensor giroscópico mide la velocidad angular con respecto a un marco de referencia inercial. En el presente experimento, como el teléfono inteligente está girando fijo al yo-yo respecto al mismo eje, el giroscopio es más apropiado que el acelerómetro para obtener una medida útil. Una propuesta interesante para el aula es presentar el problema a los estudiantes, permitirles discutir y predecir la evolución de las variables angulares y luego, realizar el experimento y comparar la predicción con los resultados. Este tipo de propuesta que utiliza elementos familiares para los estudiantes podría contribuir a demostrar que la Física está en todas partes y promover un pensamiento crítico.

Agradecimientos

Agradecemos al Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de València (España) por el apoyo a los Equipos de Innovación y Calidad Educativa MoMa y e-MACAFI. También agradecemos el apoyo del programa CSIC Grupos I+D (Uruguay).

Referencias

[1] Barbara Pecori and Giacomo Torzo.
“The maxwell wheel investigated with MBL.”
The Physics Teacher, 36(6):362-366, 1998.

[2] Julio Güémez, Carlos Fiolhais and Manuel Fiolhais.
“Toys in physics lectures and demonstrations – a brief review.”
Physics Education, 44(1):53, 2009.

[3] Juan Carlos Castro-Palacio, Luisberis Velázquez-Abad, Marcos H Giménez and Juan A. Monsoriu.
“Using a mobile phone acceleration sensor in physics experiments on free and damped harmonic oscillations.”
American Journal of Physics, 81:472, 2013.

[4] Juan Carlos Castro-Palacio, Luisberis Velázquez-Abad, José A. Gómez-Tejedor, Francisco J. Manjón and Juan A. Monsoriu.
“Using a smartphone acceleration sensor to study uniform and uniformly accelerated circular motions.”
Revista Brasileira de Ensino de Física, 36(2):1-5, 2014.

[5] Isabel Salinas, Marcos H. Giménez, Juan A. Monsoriu and Juan Carlos Castro-Palacio.
“Characterization of linear light sources with the smartphone’s ambient light sensor.”
The Physics Teacher, 56(8):562-563, 2018.

[6] Kyle Forinash and Raymond Wisman.
“Smartphone audio port data collection cookbook.”
Papers in Physics, 10:100006, 2018.

[7] Rebecca E. Vieyra and Chrystian Vieyra.
“Analyzing forces on amusement park rides with mobile devices.”
The Physics Teacher, 52(3):149-151, 2014.

[8] Ann-Marie Pendrill and Conny Modig.
“Pendulum rides, rotations and the coriolis effect.”
Physics Education, 53(4):045017, 2018.

[9] Martín Monteiro, Cecilia Cabeza, Arturo C Marti, Patrik Vogt and Jochen Kuhn.
“Angular velocity and centripetal acceleration relationship.”
The Physics Teacher, 52(5):312-313, 2014.

[10] Martín Monteiro, Cecilia Cabeza and Arturo C Martí.
“Exploring phase space using smartphone acceleration and rotation sensors simultaneously.”
European Journal of Physics, 35(4):045013, 2014.

[11] Martín Monteiro, Cecilia Cabeza and Arturo C. Marti.
“Acceleration measurements using smartphone sensors: Dealing with the equivalence principle.”
Revista Brasileira de Ensino de Física, 37:1303, 2015.

En español:
Medida de aceleración utilizando los sensores de un teléfono inteligente: más allá del principio de equivalencia

[12] Martin Monteiro, Cecilia Cabeza and Arturo C. Martí.
“Rotational energy in a physical pendulum.”
The Physics Teacher, 52:561, 2014.

[13] Martín Monteiro, Cecilia Stari, Cecilia Cabeza and Arturo C. Martí.
“The polarization of light and malus’ law using smartphones.”
The Physics Teacher, 55(5):264-266, 2017.

En español
Ley de Malus con Smartphone

[14] V. L. B. de Jesus, C. A. C. Pérez, A. L. de Oliveira, and D. G. G. Sasaki.
“Understanding the gyroscope sensor: a quick guide to teaching rotation movements using a smartphone.”
Physics Education, 54(1):015003, 2019.

[15] Matthaios Patrinopoulos and Chrysovalantis Kefalis.
“Angular velocity direct measurement and moment of inertia calculation of a rigid body using a smartphone.”
The Physics Teacher, 53(9):564-565, 2015.

[16] Ray Pörn and Mats Braskén.
“Interactive modeling activities in the classroom – rotational motion and smartphone gyroscopes.”
Physics Education, 51(6):065021, 2016.

[17] Rebecca Vieyra and Chrystian Vieyra. Physics Toolbox Suite.