Un partido que no podemos perder (si lo jugamos con la buena pelota) Por Andrés Navas

Publicado en Chile Científico.
Léelo completo en su sitio: http://chilecientifico.com/partido-no-podemos-perder/

Andrés Navas

Nuestro país se ha autoimpuesto un enorme desafío: pasar de un modelo de desarrollo básico y extractivista a uno que se apoye en el conocimiento, la ciencia y la innovación. En pro de esta tarea han surgido iniciativas de diversa índole (blogs de difusión, organizaciones, etc), como por ejemplo Chile Científico, EtilMercurio, Más Ciencia para Chile y el recientemente constituido Consejo de Sociedades de Ciencias Exactas y Naturales.

En este escenario, el Consejo Nacional de Innovación para el Desarrollo ha querido dar un impulso aún mayor a este cambio cultural implementando el sitio interactivo Más Goles Para Chile. En un intento deconectar con la mística de nuestros últimos triunfos futbolísticos (…), allí se recogen testimonios de proyectos que apuntan en tal sentido, especialmente en lo que concierne a seis retos para el desarrollo muy bien concebidos: salud conectada, resiliencia ante desastres, minería verde, laboratorio natural, energías limpias y agua para todos.

Se trata, sin duda alguna, de una iniciativa extraordinaria, que debemos apoyar con todas nuestras fuerzas. Sin embargo, hay un detalle muy visible en esta plataforma sobre el cual vale la pena detenerse: el diseño del imagotipo (logo).

¿Ha visto alguna vez una pelota tapizada con hexágonos?

El modelo clásico del balón, aquel que incorpora 20 hexágonos blancos y 12 pentágonos negros (la famosa “pelota de los 32 cascos”), fue ideado por Adidas a fines de los años 60. Genéricamente, estos balones llevan el nombre de Telstar, honrando con ello el primer satélite comercial de comunicaciones de la historia, el cual tenía un diseño geométrico y una coloración similar (fue gracias a ese satélite que el mundial de 1970, el último de Pelé, pudo ser seguido en directo por televisión en casi todo el mundo).

Geométricamente, un balón Telstar corresponde a un objeto denominado icosaedro truncado esférico. El icosaedro es uno de los cinco poliedros regulares convexos que existen, a saber, aquel de 20 caras triangulares.

El icosaedro truncado se obtiene al cortar las puntas del icosaedro a lo largo de planos bien posicionados, de modo que tras el corte todas las aristas tengan la misma longitud. Dichos cortes hacen brotar las caras pentagonales y transforman lascaras triangulares en hexagonales.

Tal como señala el gran Carlos Caszely en este simpático video promocional, ahora solo basta “inflar” este objeto para tornarlo esférico y, de ese modo, obtener el tan venerado balón de fútbol.

¿Por qué no se puede hacer una pelota con todas sus caras hexagonales y regulares?

Cada ángulo de un hexágono regular mide 120º, por lo que al juntar tres de ellos en un vértice común formarán un ángulo total de tres veces 120º, es decir, 360º, que es un ángulo completo. Dicha configuración es, por lo tanto, plana, por lo que usando este tipo de hexágonos no podremos jamás “cerrar” un poliedro. Debido a esto, no es posible construir una pelota con todas sus caras hexagonales regulares.  Es necesario,entonces,introducir caras con ángulos menores (cada ángulo de un pentágono regular mide tan solo 108º).

Y si variamos la forma de los hexágonos, ¿aún es imposible?

Al autorizar estos cambios, estamos sacando nuestro problema del ámbito puro de la geometría y llevándolo al terreno de una teoría muy profunda: la topología. Para esta, no son las medidas y formas lo fundamental, sino las propiedades ligadas a las configuraciones de objetos. Afortunadamente, el primer resultado de esta teoría, obra del genio suizo Leonhard Euler (1707-1783), nos permite resolver el enigma de la pelota. Se trata de la famosa igualdad:

V – A + C = 2,

la cual es válida para cualquier poliedro convexo de V vértices, aristas y C caras. A modo de ilustración, a continuación aparece una lista de varias configuraciones en las cuales se constata rápidamente esta ley.

V A C V – A + C
Tetraedro 4 6 4 2
Cubo 8 12 6 2
Octaedro 6 12 8 2
Dodecaedro 20 30 12 2
Icosaedro 12 30 20 2
Balón Telstar 60 90 32 2
Balón Jabulani 36 54 20 2
Balón vóleibol 32 48 18 2

 

Sabiendo esto, intentemos ahora dividir un balón en piezas hexagonales de modo que, por ejemplo, converjan tres hexágonos en cada vértice. Si utilizamos C hexágonos, entonces cada una de estas caras aporta 6 vértices, por lo que tenemos una cantidad total de 6C vértices. Sin embargo, como en cada vértice convergen 3 hexágonos, estamos contabilizando 3 veces cada vértice. Por lo tanto,

V = 6C / 3 = 2C

Por otra parte, cada hexágono aporta 6C aristas, pero ellas son contabilizadas 2 veces (una vez por cada hexágono que delimitan). Consecuentemente,

A = 6C / 2 = 3C

Calculamos entonces:

V – A + C = 2C – 3C + C = 0,

lo cual está en contradicción con la igualdad de Euler.

 

Si autorizamos que converjan más de 3 hexágonos en algunos vértices, no habremos resuelto el problema. Por el contrario, tendremos que

V – A + C  0,

lo cual sigue siendo imposible.

La naturaleza “topológica” de la imposibilidad anterior queda de manifiesto en el hecho de que otros cuerpos sí pueden ser descompuestos en hexágonos, tal como se exhibe más abajo. Por lo mismo, el espacio “toroidal” en el cual ocurre esta descomposición tiene una configuración intrínsecamente diferente de la esférica, noción que es capturada por la topología a través de un número, la “característica de Euler” (la cual es igual a 2 para la esfera y 0 para la “dona” o “toro”).

Tratándose de leyes matemáticas, estas operan tanto a nivel macro como microscópico. En nanotecnología, por ejemplo, todo lo anterior es muy conocido en relación a las nuevas formas alotrópicas de carbono conocidas como fullerenos: mientras las moléculas del futbolenoasumen la disposición de una pelota Telstar (ilustración a izquierda abajo), el grafeno se articula en configuraciones planareso tubulares puramente hexagonales (ilustración a derecha).

Esto ha permitido establecer un hermoso puente de comunicación entre científicos, matemáticos, ingenieros, arquitectos y artistas visuales.

Una historia ya conocida

La historia de la pelota mal hecha no es nueva. En Inglaterra, el país donde se inventó el fútbol, las señales de tránsito que indican la presencia de un terreno de juegocercano incurren en el mismo error. Ante esto, el matemático Matt Parker ha reaccionado solicitando al Parlamento que considere la modificación de estas señales. Para ello, ha lanzado una campaña de recolección de firmas en que promociona en:

Así como diversos estudios señalan que los chilenos entendemos poco de lo que leemos, lo que se conoce como analfabetismo funcional, sería interesante indagar si también sufrimos de otros analfabetismos, como el relacionado con la percepción geométrica. Sería también muy útil estudiar si este último problema se ha visto agravado en los últimos años por la escasa presencia de la geometría en el currículum escolar, junto con la supresión de la trigonometría.

Es contra este mismo tipo de problemas que Matt Parker lucha en Inglaterra, esperanzado en lograr las cien mil firmas que necesita para que el Parlamento discuta su petición en sesión de sala. Ciertamente, sería difícil en Chile exigir tal nivel madurez política para enfrentar un problema que, en estricto rigor, se reduce a cambiar hexágonos por pentágonos…

Sin embargo, tratándose de un espacio de conversación científica, hubiera sido deseable que el logo de Más Goles Para Chile hubiese sido modificado en el momento en que se les notificó el error de su diseño.

La divulgación y la promoción de la ciencia requieren de la interacción entre numerosos actores, y los artistas y diseñadores están llamados a jugar un rol fundamental en esta tarea.

Foto principal: ESPN

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