Resonancia acústica en tubo extensible

Publicado en el blog de Martín Monteiro .
Léelo completo en su sitio: http://fisicamartin.blogspot.com/2020/06/resonancia-acustica-en-tubo-extensible.html

Mientras escuchamos la música procedente de un instrumento de viento, como puede ser una flauta o un clarinete, estamos siendo testigos de un fenómeno conocido como resonancia acústica. El instrumentista inyecta aire en el borde de un orificio, o a través de una boquilla, o de una caña, según el tipo de instrumento, y las vibraciones resultantes generan ondas de diversas frecuencias en el aire del interior del instrumento. Según la geometría del tubo, algunas frecuencias específicas adquieren energías predominantes, que son las que le constituyen el sonido musical característico. Esas son las frecuencias de resonancia. La frecuencia más baja, (la fundamental), corresponde a la nota musical, mientras que las frecuencias más altas, denominadas “armónicos”, son las responsables del timbre o sonido característico del instrumento.

Consideremos un caso muy sencillo, un tubo cilíndrico de largo L, abierto por ambos extremos. En este caso lo que ocurre es que los extremos del tubo se van a comportar como nodos de presión, es decir, puntos donde la presión permanece constante. Dada esta “condición de borde”, las únicas ondas que pueden resonar en el tubo son aquellas en las que dos de sus nodos coinciden con los extremos del tubo. Como la distancia entre nodos es igual a media longitud de onda, \(\lambda\), entonces para las ondas resonantes se debe cumplir que el largo del tubo coincida con un número entero de semi-longitudes de onda:
\( L = N \frac{\lambda}{2}\)
donde N es un número natural denominado número de armónico. La fundamental corresponde a N=1.
Por otra parte, el producto de la frecuencia, \(f\), y la longitud de onda es igual a la velocidad del sonido, \(c\),
\( f · \lambda = c \)
De ambas ecuaciones resulta que las frecuencias resonantes en un tubo abierto por ambos extremos son aquellas que cumplen con la siguiente relación:
\( f = \frac{c}{2·L} N \)

Si representamos en un gráfico la frecuencia de resonancia en función del número de armónico, obtenemos una recta con pendiente \(c/(2L)\).
Por otra parte, si en un gráfico representamos la frecuencia fundamental (N=1), en función del inverso del largo del tubo, entonces obtenemos una recta con pendiente \(c/2\).
Experimento.
Un sencillo experimento sobre resonancia se puede realizar utilizando un tubo extensible (o telescópico) de una aspiradora, en el cual fácilmente se pueden obtener diferentes frecuencias de resonancia para diferentes longitudes. Una forma de producir sonido es soplar a ras de un extremo del tubo, como en una flauta de pan o zampoña, aunque para tubos anchos esto puede ser un poco difícil por el caudal de aire que requiere. Otra forma de conseguir sonido resonante es golpear un extremo del tubo con la palma de la mano abierta. Esta maniobra produce una perturbación muy breve en la columna de aire dentro del tubo, haciendo que por un momento aparezcan las frecuencias de resonancia. La frecuencia se puede medir de forma muy sencilla y económica con el laboratorio de ciencia que tenemos en nuestros teléfonos inteligentes. Basta instalar en el smartphone alguna de las muchas aplicaciones gratuitas que analizan el sonido, como Physics Toolbox, Phyphox, Spectroid o Advanced Spectrum. Estas aplicaciones (y otras) se valen de la gran capacidad de cálculo de estas computadoras de bolsillo para realizar una Transformada Rápida de Fourier en tiempo real y así determinar las frecuencias presentes en el sonido que llega al micrófono del teléfono. En general, cuando se quiere realizar una medida concreta, conviene utilizar la pausa para congelar los valores mostrados en la pantalla.
Smartphone con app Advanced Spectrum y tubo extensible de aspiradora, en intervalos de 2 cm.

Captura de pantalla de la app Advanced Spectrum, mostrando el espectro de una de las medidas realizadas. El eje horizontal es frecuencia (Hertz) y el eje vertical es la energía (decibel). El pico principal es la frecuencia fundamental medida para el tubo de 79,8 cm de largo.

Medidas y resultados.

Longitud del tubo (metros) versus frecuencia fundamental de resonancia (Hertz).
A partir de los datos experimentales se puede graficar la frecuencia en función del inverso de la longitud del tubo y buscar la recta de mejor ajuste. La pendiente de la recta es igual a la mitad de la velocidad del sonido, la cual resultó ser en este caso,
\(c = \left( 343 \pm 3 \right) m/s \)
Este valor de la velocidad del sonido concuerda muy bien con la velocidad del sonido esperada para la temperatura a la que se realizó el experimento (22ºC). Teóricamente la velocidad del sonido en un gas es, \(c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\), donde \(\gamma\) para el aire es \(1.4\), \(R\) es la constante universal de los gases (\(8.31 J/K·mol\)) y \(M\) es la masa molar, que para el aire es, \(M=0.029 kg/mol\). Con estos valores la velocidad del sonido esperada a 22ºC es \(c = 344.0 m/s\).
Más física con smartphones:
http://smarterphysics.blogspot.com

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