Epidemias, crecimiento exponencial, progresión geométrica y Coronavirus

La influenza o gripe estacional mata en todo el mundo a más de mil personas cada día y no es noticia. Por su parte (a principios de marzo de 2020), el COVID-19 mataba a 62 personas cada día. Sin embargo recibía, paradójicamente, casi el 90% del flujo noticioso sobre enfermedades. Además obligaba a Italia, España y otros países a ingresar en un período de completa aislación y parálisis social. ¿Por qué? ¿Por qué tanta alarma por 62 casos frente a 1000?

La clave es el famoso «crecimiento exponencial» de las epidemias. Las enfermedades que ya están instaladas de forma estable en una sociedad, como la gripe, presentan un número casi constante de infectados. Esto es porque la cantidad de personas que se infectan es similar a la cantidad de personas que se recuperan, y es así como el número total de infectados se mantiene estable. Muy por el contrario, las epidemias en expansión, como la actual pandemia de COVID-19, presentan una fase inicial de crecimiento explosivo, con más infectados que recuperados, que si no es controlada en poco tiempo puede alcanzar cifras alarmantes de infectados, superando a todas las demás enfermedades y colapsando a toda la sociedad. En estos casos se hace fundamental aplicar desde muy temprano medidas efectivas de contención para #AplanarLaCurva: #LavateLasManos #DistanciamientoSocial.

Se dice que una magnitud crece exponencialmente cuando es proporcional a su tasa de cambio. Trasladado al dominio discreto hablamos de crecimiento geométrico. Por ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, 32…, es un ejemplo de progresión geométrica. Infinidad de fenómenos naturales se ajustan a modelos exponenciales o geométricos, entre ellos las epidemias cuando están en su fase inicial. Un ejemplo básico de función exponencial es el siguiente:

\[ x_{t} = x_0 \left( 1 + r \right)^t \]

donde \(t\) es el tiempo, \(x_0\) es el valor inicial (en tiempo t=0) y \(r\) es la tasa de crecimiento. Si el tiempo \(t\) es un número real, decimos que \(x\) es una función exponencial. Si el tiempo \(t\) es un número entero (el número de días, por ejemplo), decimos que \(x\) es una progresión geométrica.

La propiedad característica de la progresión geométrica es que cada valor se obtiene multiplicando el valor anterior por una constante denominada razón de la progresión, que es igual a \( \left( 1 + r \right) \), ya que,

\[ x_{t+1} = x_0 \left( 1 + r \right)^{t+1} = x_0 \left( 1 + r \right)^t \left( 1 + r \right) \]

es decir,

\[ x_{t+1} = \left( 1 + r \right) x_{t} \]

Si conocemos que el valor de \(x\) un día \(t\), es \(x_{t}\) y que el valor \(n\) días después es \(x_{t+n}\), entonces la tasa de crecimiento se puede determinar de este modo,

 \[ r = \sqrt[n]{\frac{x_{t+1}}{x_{t}}} \]

En la progresión de ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, 32…, la razón es 2, porque cada valor se obtiene multiplicando el valor anterior por 2. Mientras que la tasa de crecimiento es \(r=1\), esto significa que la progresión aumenta un 100% de un momento a otro.

Otro ejemplo. Consideremos una progresión geométrica con valor inicial \(x_0 = 1\), y tasa de crecimiento del 10%, es decir \(r=0.10\). Entonces la razón de la progresión será \(1 + r = 1.10 \). Los primeros valores de la progresión son los siguientes:

\( x_{0} = 1\)

\( x_{1} = 1 \times 1.10 = 1.10\)

\( x_{2} = 1.10 \times 1.10 = 1.21\)

\( x_{3} = 1.21 \times 1.10 = 1.33\)

\( x_{4} = 1.33 \times 1.10 = 1.46\)

\( x_{5} = 1.46 \times 1.10 = 1.61\)

\( x_{6} = 1.61 \times 1.10 = 1.77\)

No parece un crecimiento muy violento, no parece algo que asombre mucho o que merezca el famoso calificativo de crecimiento exponencial. Pero veamos lo que ocurre al pasar los meses:

Mes 1: \(x_{30} = 1.10^30 = 17 \)

Mes 2: \(x_{60} = 1.10^60 = 304 \)

Mes 3: \(x_{90} = 1.10^90 = 5313 \)

Mes 4: \(x_{120} = 1.10^120 = 92709 \)

Mes 5: \(x_{150} = 1.10^150 = 1617717 \)

Mes 6: \(x_{180} = 1.10^180 = 28228209 \)

Ahora creo que sí se entiende la idea. Piensen si esos números fueras la cantidad de infectados por una enfermedad. Y solo pasaron 6 meses. Piensen además que la tasa de crecimiento del coronavirus COVID-19 en sus fases iniciales no es del 10% sino que oscila entre 30% y 50%. Hacia ahí vamos.

Este gráfico, con los datos del ejemplo anterior, muestra la típica firma de un crecimiento exponencial.

Cuando un virus nuevo, como el SARS-CoV-2, que genera la enfermedad COVID-19, se introduce en una población sana y desprevenida, cada persona infectada comienza a contagiar a otras personas a causa de las interacciones o contactos sociales. Veamos un ejemplo numérico muy sencillo similar al que se ilustra en la imagen de abajo. Supongamos un caso hipotético en el que de una semana para otra cada persona se capaz de contagiar a 3 personas. Entonces al cabo de una semana tendremos 3 nuevos infectados. Esos 3 infectan a 3 cada uno, es decir 9 nuevos infectados. Pasada otra semana los 9 infectan a 27. Esos 27 a 81, y así siguiendo. Se trata claramente de un crecimiento geométrico, o exponencial, como el que describía más arriba.

Por supuesto que la propagación de una enfermedad es mucho más compleja. No todas las personas tienen el mismo nivel de interacción ni de contagio, la población no es infinita, al pasar el tiempo hay enfermos que se recuperan y a todo esto se deben agregar las medidas de contención. Todo esto hace que la curva que al principio parece crecer sin fin, cambia a una especie de campana que presenta un pico máximo después de un cierto tiempo (la famosa curva que hay que «aplanar»). En la próxima nota veremos algunos modelos matemáticos más refinados para modelar la evolución de las epidemias.

A pesar de la complejidad que implica modelar matemáticamente una epidemia, lo cierto es que en la fase inicial de expansión, el comportamiento es prácticamente exponencial, es decir que la cantidad de infectados aumenta día a día siguiente una tasa de crecimiento casi constante. En el caso del COVID-19 la tasa de crecimiento en las fases iniciales ha estado entre el 30 y el 50%, dependiendo del país y de las medidas de contención adoptadas. Esto significa «grosso modo», que la cantidad de casos se multiplica por 10 en una semana. Hagan el cálculo, al cabo de dos semanas se multiplicaría por 100, a las tres semanas por 1000, y en apenas un mes por 10000. Es decir, si hoy tenemos 50 casos, y esa tasa de crecimiento se mantuviera constante, entonces dentro un mes alcanzaríamos la alarmante cifra de ¡medio millón de casos! Aterrador. Esa es la gravedad del crecimiento exponencial de una epidemia. Por suerte la tasa de crecimiento decae por varios mecanismos, entre los que se cuentan con fundamental importancia el tomar medidas efectivas lo más temprano posible (lavarse las manos, distanciamiento social, para lograr aplanar la curva).

Análisis de algunos casos reales:

CHINA:
China fue el epicentro de la epidemia.
En la última semana de enero China publicó los siguientes números de infectados:
22 de enero: 554
29 de enero: 7417

Tasa de crecimiento: \( r = \sqrt[7]{\frac{7417}{554}} = 45 \% \) 

Como se puede apreciar en la gráficas, las medidas draconianas de contención implementadas por los Chinos fueron muy efectivas con lo que la curva alcanzó su máximo a mediados de febrero. A partir de allí la tasa de crecimiento ha sido negativa ya que se recuperan más personas de las que se infectan.

ITALIA:
Italia fue el segundo foco rojo de COVID-19, explotando en el norte del país hacia fines de febrero.
En la última semana de febrero, Italia registró los siguientes números de infectados, que arrojan una tasa de crecimiento muy similar a la que tenía China un mes antes:

22 de febrero: 75
29 de febrero: 1049
Tasa de crecimiento: \( r = 46 \% \)

Dos semanas más tarde, la tasa de crecimiento es bastante menor:
10 de marzo: 8514
16 de marzo: 23073
Tasa de crecimiento: \( r = 18 \% \)

ESPAÑA:
España ha secundado a Italia en la explosión de COVID-19 en Europa.

25 de febrero: 7
3 de marzo: 162
Tasa de crecimiento: \( r = 57 \% \)

9 de marzo: 1169
16 de marzo: 9070
Tasa de crecimiento: \( r = 34 \% \)

ESTADOS UNIDOS:
Cruzando el Atlántico, el país con mayor cantidad de casos es Estados Unidos, tal vez por su tamaño, o seguramente por su mayor tránsito de personas desde todos los continentes.
Allí la cantidad de infectados ha crecido siguiendo una exponencial casi perfecto con tasa de crecimiento en la ultima semana del 31%:

9 de marzo: 663
16 de marzo: 4503
Tasa de crecimiento: \( r = 31 \% \)

Una curiosidad histórica: Fue Isaac Newton quien perfeccionó el concepto de tasa de cambio, creando el método de las fluxiones, lo que hoy denominamos el cálculo diferencial. Lo hizo durante una cuarentena por una epidemia, la Gran Peste de Londres. El cálculo infinitesimal revolucionó el mundo, aplicándose en todas las áreas de la ciencia y la tecnología, entre ellas, el modelado matemático de las epidemias. (Ver «Newton de cuarentena»)