La superficie libre de un líquido que gira con velocidad que cambia con el tiempo

La forma de la superficie de un líquido en un sistema que rota depende de la velocidad angular. En este experimento, un fluido en un recipiente rectangular de ancho angosto se coloca sobre una mesa giratoria. Un teléfono inteligente fijado al sistema registra simultáneamente la superficie del fluido con la cámara y también, gracias al giroscopio incorporado, la velocidad angular. Cuando la mesa comienza a girar, la superficie evoluciona y desarrolla una forma parabólica. Mediante el análisis de video obtenemos las características de la superficie: la concavidad de la parábola y ls altura del vértice. Los resultados experimentales se comparan con las predicciones teóricas. Este problema contribuye a mejorar la comprensión de conceptos relevantes en la dinámica de fluidos.

Cuando revolvemos suavemente una taza de café o té, la superficie libre desarrolla una forma parabólica. De hecho, esto es una expresión de un fenómeno omnipresente llamado vórtice. En general, en la mecánica de fluidos, el movimiento del vórtice se caracteriza por elementos de fluido que se mueven a lo largo de líneas de corriente circulares (Ref. 1). Hay dos tipos básicos de flujos de vórtice: el vórtice irrotacional, que ocurre típicamente alrededor de un sumidero, y el vórtice rotacional o rotación de cuerpo sólido, que ocurre en el ejemplo mencionado anteriormente. En particular, la superficie libre de un líquido giratorio desarrolla el conocido perfil parabólico cuyas características dependen de la velocidad angular. Este último es un problema habitual en los cursos introductorios cuando se trata de mecánica de fluidos. Aunque no es difícil desde el punto de vista teórico, no es fácil abordarlo experimentalmente. Aquí proponemos un experimento para analizar la forma parabólica de una superficie líquida en una mesa giratoria en función de la velocidad angular dependiente del tiempo.

Los fluidos rotando se han estudiado en varios experimentos. Por mencionar algunos, el perfil de la superficie de un líquido en movimiento circular uniforme se determinó utilizando un rayo láser vertical reflejado en la superficie curva, de donde se determinó la aceleración gravitatoria (Ref. 2). Más recientemente (Ref. 3), esa configuración experimental se mejoró utilizando el hecho de que una superficie líquida giratoria formará un reflector parabólico que enfocará la luz en un punto focal único. Otro experimento interesante es el balde de Newton, que proporciona una demostración simple que simula el principio de Mach y permite observar la forma cóncava del líquido (Ref. 4). En otros experimentos, los fluidos en rotación fueron estudiados en el marco del principio de equivalencia y los sistemas no inerciales (Refs. 5 y 6).

En el presente experimento se coloca un recipiente estrecho sobre una mesa giratoria cuya velocidad angular se puede controlar manualmente. Como se muestra en la siguiente sección, la superficie del líquido desarrolla una forma parabólica cuya concavidad y la ubicación del vértice están relacionadas con la velocidad angular de la mesa y la aceleración gravitatoria. La configuración experimental, descrita en la Sección III, además del contenedor en la mesa giratoria, incluye un teléfono inteligente, también fijado a la mesa giratoria, que nos permite registrar la forma de la superficie del líquido con la cámara y la velocidad angular con el giroscopio. Esta capacidad de medir simultáneamente con más de un sensor es una gran ventaja de los teléfonos inteligentes, ya que nos permite realizar una gran variedad de experimentos, incluso al aire libre, evitando la dependencia de instrumentos frágiles o no disponibles (ver, por ejemplo, Refs.7 a 11). Gracias al análisis del video digital, es posible obtener fácilmente la característica de la forma parabólica. Los resultados se presentan en la Sección IV y, finalmente, la conclusión se da en la Sección V.

La superficie libre de un líquido en un sistema giratorio se obtiene de los puntos donde la presión es igual a la presión atmosférica. Consideremos el campo de presión en un fluido, \( p ( \vec r) \), sujeto a una aceleración constante \(\|vec a \) y un campo gravitacional \( \vec g \). Después de los transitorios, un fluido gira como un cuerpo rígido, es decir, los elementos del fluido siguen líneas de corriente circulares sin deformarse y las tensiones viscosas son nulas (Ref. 1). Bajo estas hipótesis, el gradiente de presión, el campo gravitacional y la aceleración de las partículas están relacionados por la expresión simple

\( \nabla p = \rho (\vec{g} -\vec{a}) \) (Ec. 1)

En el presente experimento, consideramos un fluido en un recipiente prismático estrecho, como se muestra en la figura 1, cuya base es \( L \times d \) donde \( L >> d \) y su altura es lo suficientemente grande como para que el fluido no se desborde. Cuando el sistema está en reposo, el fluido con densidad \( \rho \) y viscosidad insignificante, alcanza una altura \( H \). El recipiente se coloca en una mesa giratoria cuya velocidad angular, \( \omega \), en torno al eje vertical que pasa a través del centro geométrico puede controlarse externamente. En este experimento la velocidad angular se varía lentamente para que los efectos transitorios sean depreciables. La figura 1 también se muestran las coordenadas polares cilíndricas con vectores unitarios \( (\hat r; \hat \theta; \hat z ) \), donde \( \hat r \) coincide con la base del contenedor y \( \hat z \) es un eje vertical a través del centro del contenedor. 

Bajo estos supuestos, el campo de velocidad es el de un cuerpo rígido y puede expresarse como \( \vec u = \omega r \hat \theta \), mientras que la aceleración es \( \vec a = – \omega^2 r \hat r \). Para obtener el campo de presión, después de sustituir estas expresiones en la ecuación 1 obtenemos

\( – \omega^2 r  \hat{r} =  – \frac{\nabla p}{\rho} – g \hat{z} \) (Ec. 2)

donde en el caso de un campo con simetría cilíndrica, el gradiente se puede escribir como

\( \nabla p=\frac {\partial p}{ \partial r}  \hat{r} + \frac {\partial p}{ \partial z}  \hat{z} \) (Ec. 3)

El campo de presión se puede integrar fácilmente para obtener

\( p(r,z) = –  \rho g z + \frac{\rho  \omega^2 r^2}{2} + C \) (Ec. 4)

donde \( C \) es una constante de integración con dimensiones de presión. La ecuación de la superficie libre, \( z’ (r) \), se obtiene utilizando la restricción de que la presión corresponde a la presión atmosférica \( p_{atm} \) y resulta

\( z'(r) =\frac{r^2 \omega^2}{2 g} – \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{C}{\rho g} \) (Ec. 5)

La constante \( C \) se puede obtener utilizando la conservación de la masa y el hecho de que el fluido es incompresible,

\( HL = 2 \int_0^{L/2}{z'(r)dr} = 2 \int_0^{L/2}{\left( \frac{r^2 \omega^2}{2 g} – \frac{p_{atm}}{\rho g} + \frac{C}{\rho g}\right)}dr \)  (Ec. 6)

Realizando la integral obtenemos la expresión para \( C \)

\( C= p_{atm}  + \rho g H – \frac{\rho \omega^2L^2}{12} \) (Ec. 7)

Finalmente, el campo de presión dentro del fluido puede expresarse como

\( p(r,z) = p_{atm} + \rho g(H- z) + \frac{\rho \omega^2} {2} \left(r^2 – \frac{L^2}{24} \right) \) (Ec. 8)

donde se pueden apreciar contribuciones estáticas y dinámicas. Finalmente la superficie libre puede expresarse como

\( z'(r) =H  – \frac{\omega^2}{2 g} \left( \frac{L^2}{12}-r^2\right) \) (Ec. 9)

Notamos que la concavidad y la altura del vértice de la parábola dependen de la velocidad angular. El vértice de la parábola, ubicado en \( r = 0 \), se encuentra a una altura

\( z_v =H – \frac{\omega^2 L^2}{24 g} \) (Ec. 10)

Cuando la velocidad angular es \( \omega \ge \sqrt{24 g H}/L \), el vértice de la parábola llega al fondo del contenedor y estas expresiones ya no son válidas. También es interesante que haya dos puntos nodales dados por \( z'(r_0)=H \), con \( r_0 = \pm L / \sqrt{12} \), que siempre pertenecen a la superficie libre.

Para analizar las características de la superficie en evolución temporal, en primer lugar, extraemos los cuadros individuales del video digital. A continuación, seleccionamos 15 cuadros, que corresponden a diferentes valores de las velocidades angulares que se muestran en la figura 3. Cada cuadro se analizó con el software de análisis de video Tracker (Ref. 12). Se etiquetaron manualmente varios puntos, típicamente 8,  y luego realizamos un ajuste parabólico, \( y = A x^2 + B x + C \). El coeficiente \( A \) corresponde a la concavidad de la parábola. A partir de los coeficientes \( B \) y \( C \), se puede obtener fácilmente la altura del vértice, \( H = −B^2 / (4A) \).

Video del expermiento: