Mecánica del rígido con smartphone. Rotaciones estables e inestabilidad del eje intermedio

La dinámica del rígido es uno de los aspectos más fascinantes de la mecánica clásica. Los movimientos que exhiben objetos como el trompo, el yoyo, el giróscopo, la peonza celta, el disco de Euler, etc., son tan solo algunos ejemplos muy conocidos y estudiados. En esta nota analizamos un fenómeno de inestabilidad, que aunque es muy fácil de observar, no tan fácil de analizar mediante herramientas como el análisis de video, pero que es muy simple de medir y analizar con ayuda de los sensores de un smartphone.

Una propiedad muy curiosa es la inestabilidad que presenta la rotación de un objeto con respecto al denominado eje intermedio. Un rígido posee tres ejes principales de inercia y en muchos objetos ocurre que sus tres momentos de inercia son diferentes. En tal caso, si hacemos girar al objeto con respecto al eje de mayor inercia o con respecto al eje de menor inercia, la rotación resulta ser bastante estable. Pero con respecto al eje intermedio la rotación resulta ser inestable, esto significa que en determinado momento el objeto se da vuelta y cambio el sentido de rotación. Este fenómeno se puede observar de forma muy sencilla lanzando al aire un objeto en rotación. Este objeto puede ser un libro (cuidado que no se abra). Si lo lanzamos hacia arriba rotando con respecto a un eje perpendicular a la tapa, la rotación será estable. Lo mismo si lo hacemos rotar con respecto a un eje paralelo al lomo del libro. Pero si lo lanzamos al aire, rotando con respecto aun eje paralelo a la base del libro, veremos que el movimiento del libro es mucho más complicado porque además de rota se va dando vuelta con respecto a los otros ejes. De hecho es muy probable que al caer sobre nuestras manos, la tapa esté invertida hacia abajo, lo cual es señal de que efectivamente además de rotar, se dio vuelta. En el video siguiente se puede ver el experimento del libro rotando, realizado por el astronauta Don Pettit en la Estación Espacial Internacional. Allí se puede apreciar claramente la rotación estable con respecto a dos de los ejes y la rotación inestable cuando gira con respecto al eje intermedio.

Video demostrativo grabado por el astronauta Don Pettit a bordo de la Estación Espacial Internacional, en el año 2003.

Se observan tres experimentos diferentes:

1) Rotación del libro con respecto al eje Y (paralelo al lomo del libro), que en este caso es el eje de menor momento de inercia. Se observa que la rotación es estable. Es decir, la parte superior del libro permanece siempre a la derecha.

2) Rotación del libro con respecto al eje Z (perpendicular a la tapa del libro), que en este caso es el eje de mayor momento de inercia. Nuevamente se trata de una rotación estable. Obsérvese que la tapa del libro está siempre de frente a la cámara.

3) Rotación del libro con respecto al eje X (paralelo a la base del libro), que en este caso es el eje intermedio. Esta vez la rotación es inestable. Véase cómo por momentos el libro giro con el lomo estando a la izquierda y en otros momentos gira mientras el lomo está a la derecha.

Análisis de estabilidad e inestabilidad de rotaciones mediante smartphone:
Con un smartphone podemos hacer la misma demostración que con un libro (y con muchos otros objetos), pero con el añadido de que gracias a los sensores incorporados, podemos medir la velocidad angular con respecto a sus tres ejes. Recordemos que en los teléfonos, el eje X es paralelo a la base, el eje Y es paralelo al borde lateral y el eje Z es perpendicular a la pantalla (como en el dibujo). El eje con mayor momento de inercia es el Z, el de menor momento es el Y, mientras que el eje intermedio es el X.

En esta breve nota solo presentamos una demostración cualitativa del fenómeno, valiéndonos del sensor de velocidad angular del smartphone: el giroscopio. En otra oportunidad ampliaremos el análisis con detalles analíticos y cuantitativos.

1) Teléfono lanzado hacia arriba, rotando con respecto al eje Z.

Se puede observar que la velocidad angular predominante es la del mismo eje Z (curva azul). Es una rotación estable.

2) Teléfono lanzado hacia arriba, rotando con respecto al eje Y.

Nuevamente se puede observar que la velocidad angular predominante es la del mismo eje de rotación, en este caso el eje Y (curva verde). Nuevamente se trata de una rotación estable.