Solución al Physics Challenge TPT Abril 2019

Publicado en el blog de Martín Monteiro .
Léelo completo en su sitio: http://fisicamartin.blogspot.com/2019/04/solucion-al-physics-challenge-tpt-abril.html

Solución al Desafío de Abril 2019 de The Physics Teacher: “The longest shortcut”

Dos cables de alambre de nicrom, de longitudes 1,0 m y 3,0 m, se conectan en paralelo a los terminales de una batería ideal, como se muestra en el dibujo. Se hace una marca en el cable más corto, a 0,20 m de distancia del terminal derecho de la batería; y otra marca en el cable más largo, a 0,20 m de distancia del terminal izquierdo de la batería. Las marcas son conectadas mediante un tercer cable del mismo alambre (línea punteada en el dibujo). Los tres cables son del mismo material y del mismo diámetro.

¿Cuál debería ser la longitud del tercer cable para que disipe la máxima potencia posible?


“The longest shortcut”
Boris Korsunsky
The Physics Teacher 57, 269 (2019)
https://doi.org/10.1119/1.5095393

SOLUCIÓN

Siendo todos los cables del mismo alambre, vamos a definir R como la resistencia de un cable de 0,20 m. Luego, como la resistencia es proporcional a la longitud, el cable largo tiene una resistencia igual a \( \frac{3}{0,2} R = 15 R \) y el cable corto una resistenci ide \( \frac{1}{0,2} R = 5 R \). El cable largo queda dividido por la marca de la izquierda en dos tramos, uno de resistencia R y otro de resistencia 14 R. Mientras que el cable corto queda dividido por la marca de la derecha en dos tramos, uno de resistencia R y el otro de resistencia 4 R.

Por otra parte, voy a llamar r a la resistencia del tercer cable.

Con estas definiciones el circuito se puede representar del siguiente modo:

Sean las corrientes definidas del siguiente modo: \( i_1 \) la corriente que circula por la resistencia R de la izquierda, \( i_2 \) la corriente que circula por la resistencia de 14 R, \( i_3 \) la corriente que circula por la resistencia de r, \( i_4 \) la corriente que circula por la resistencia de 4 R y finalmente \( i_5 \) la corriente que circula por la resistencia R de la derecha.

Entonces las ecuaciones de Kirchhoff para este circuito son:

\[ V – R i_1 – 14 R i_2 = 0 \]

\[ V – 4 R i_4 – R i_5 = 0 \]

\[ -R i_1 – r i_3 + 4 R i_4 = 0 \]

\[ i_1 + i_4 = i_2 + i_5 \]

\[ i_1 = i_2 + i_3 \]

Resolviendo el sistema por alguno de los tantos métodos algebraicos posibles (realizando sustituciones, por ejemplo), se determina la corriente \( i_3 \):

\[ i_3 = \frac{11 V}{26 R + 15 r} \]

con la cual se puede determinar la potencia sobre r: \( P_3 = i_3^2 r \)

\[ P_3 = left( \frac{11 V}{26 R + 15 r} right)^2 r \]

Resulta evidente que la potencia es una función continua de r, siempre positiva, que solo se anula cuando r=0 y que tiende a cero para valores muy grandes de r, (ver gráfica al final). Eso significa que la potencia tiene al menos un máximo relativo y por lo tanto en ese punto la derivada será nula,
\[ \frac{d P_3}{d r} = 0 \]
Que conduce a la siguiente ecuación:
\[ left( 26 R + 15 r right)^2 = 30 r left( \frac{11 V}{26 R + 15 r} right) \]

Una solución es que \( 26 R + 15 r = 0 \), pero conduce a una resistencia negativa, de modo que es físicamente inadmisible. Descartada esta posibilidad, la ecuación anterior se puede transformar en,

\[ 26 R + 15 r right = 30 r \]

de donde se obtiene el valor de r que maximiza la potencia disipada por la resistencia r,

\[ r = \frac{26 R}{15} \]

La resistencia R corresponde a 0,2 m de alambre, entonces la longitud del cable de resistencia r es,

\[ L = \frac{26 0,2}{15} \]

es decir,

\[ L = \frac{26}{75} = 0,3467 m \]

que es lo que queríamos determinar, es decir: la longitud que debe tener el tercer cable para que la potencia que disipa sea máxima, es 0,3467 m. De más está decir que este resultado no depende del diámetro del alambre, ni del voltaje de la batería.

Potencia (en Watts) en función de r (en Ohms), para V=1 V y R=0,2 Ohm.
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