Solución al Physics Challenge TPT Marzo 2019

Una varilla vertical liviana, de longitud L, es libre de moverse en un plano vertical, en torno a un eje que pasa por su extremo superior, sin rozamiento. Una pequeña esfera de masa m y carga +q está unida al extremo inferior de la varilla. Otra pequeña esfera de carga –q se encuentra fija en un punto que está a una distancia L directamente por encima del eje. Después de una pequeña perturbación, la varilla oscila a un lado y a otro en un plano vertical.

Determine el período de ese movimiento.

Consideremos el triángulo isósceles \( O, q. -q \). El ángulo \(q, O, -q \) es \( 180^{\circ} – \theta \), entonces el ángulo \( O, q, -q \) es \( \theta / 2 \).

De modo que la distancia entre las cargas es \( r = 2 L cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \).

Fuerzas involucradas:

Módulo del Peso: \( P = m g \)

Módulo de la fuerza eléctrica: \( F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \)

Teniendo en cuenta que la masa está restringida a moverse en una trayectoria circular, entonces para la ecuación del movimiento de la masa solo es necesario considerar las componentes tangenciales de las fuerzas, es decir el peso y la fuerza eléctrica (la varilla no realiza fuerza en la dirección tangencial).

Componentes tangenciales de las fuerzas:

Componente tangencial del Peso: \( P_t = – P sin \left( \theta \right)  \)

Módulo de la fuerza eléctrica: \( F_t = F sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \)

Entonces la ecuación de movimiento es,

\[ – m g sin \left( \theta \right) + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{\left( 2 L cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \right)^2} sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = m L \ddot{\theta} \]

Para ángulos pequeños. son válidas las siguientes aproximaciones de primer orden:
\[ sin \left( \theta \right) \approx \theta \]
\[ sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \approx \frac{\theta}{2} \]
\[ cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \approx 1 \]

Entonces,

\[ – m g \theta + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^2}{\left( 2 L \right)^2} \frac{\theta}{2} \approx m L \ddot{ \theta} \]

Y,

\[ \ddot{ \theta} \approx  – \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} \right) \theta \]

Donde tenemos dos casos. Si \( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} > 0 \) , entonces la posición más baja de la masa es de equilibrio estable. En el otro caso es inestable.

Reescribiendo,

1) Estable: \( m g > \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 L^2} \)
En este caso, ante una perturbación, ocurren oscilaciones armónicas alrededor de la posición más baja.

2) Inestable: \( m g \leq \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 L^2} \)
En este caso, ante una perturbación, la componente tangencial de la fuerza eléctrica es mayor que la componente tangencial del peso y entonces la masa se mueve hacia arriba hasta que las dos cargas se tocan.

Finalmente, para el caso estable, concluimos, a partir de la ecuación de movimiento, que la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones es,

\[ \omega = \sqrt{ \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi \epsilon_0 m L^3} \right) } \]

Y el período de movimiento es,

\[ T = \frac{2 \pi}{\sqrt{ \left( {\frac{g}{L}} – \frac{q^2}{32 \pi  \epsilon_0 m L^3} \right)}} \]

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