Impulso del cohete Tero IV

Publicado en el blog de Martín Monteiro .
Léelo completo en su sitio: http://fisicamartin.blogspot.com/2018/09/impulso-del-cohete-tero-iv.html

Recientemente la Asociación de Cohetería Experimental y Modelista del Uruguay (ACEMU), publicó un video del lanzamiento del Tero IV, un cohete de pruebas de combustible sólido, que tiene una altura de 1,26 metros y una masa total de 1,84 kg, de los cuales 0,23 kg corresponden al combustible Candy (nitrato de potasio y sorbitol).

A partir de este video analizo algunas características cinemáticas y dinámicas de este cohete.

Un breve resumen del procedimiento. Luego de descargar este video:

y cargarlo en el popular software de análisis de video Tracker, selecciono un sistema de coordenadas alineado con el cohete, utilizo la longitud del cohete como escala y selecciono el tiempo cero de tal modo que coincida con el cero del cronómetro que está incrustado en el video. Todo esto en la tercera sección del video, cuando se repite en cámara lenta.

Para calibrar el tiempo observo que al cabo de 0,21 segundos (del cronómetro incrustado) ocurren 175 cuadros, es decir, 833 imágenes por segundo. Entonces en el botón «Ajustes de Corte», defino esa cantidad de imágenes por segundo, para que el tiempo medido por el Tracker corresponda con el tiempo real.

Una vez definido el tiempo, selecciono como tiempo cero el momento en que se enciende el motor del cohete y luego marco las posiciones del punto inferior del cohete. Puede observarse que la gráfica está escalonada. Esto se debe a que la imagen está compuesta por series de cuadros repetidos.

Todo el movimiento del que disponemos es de 0,1 segundos antes de que el cohete se escape del cuadro de la cámara.

Con la herramienta de análisis gráfico del Tracker, un ajuste parabólico nos muestra que la aceleración media del cohete en esa fase inicial es de 387 m/s^2 (esto se calcula como el doble del coeficiente A de la parábola). Esto es casi 40 veces la aceleración gravitatoria. Un ser humano no seria capaz de resistir semejante aceleración.

Esto significa que al cabo de 0,1 segundos, el cohete habría alcanzado una velocidad de casi 39 m/s (unos 140 km/h). Claro que esto es válido bajo la hipótesis de que la aceleración fue constante durante ese lapos, lo cual es apenas una aproximación de primer orden.

Otra forma de estimar la velocidad que alcanza el cohete en esa primera décima de segundo es mediante un ajuste lineal de los últimos puntos del movimiento del cohete. Es lo que se muestra en la segunda gráfica, donde la velocidad media entre los instantes 0,07 y 0,10 segundos resulta ser de 30 m/s (unos 110 km/h).

DINÁMICA:

Según sabemos este cohete consume sus 0,23 kg de combustible en 1,1 segundos, de modo que el caudal de masa, o sea la cantidad de masa que se expulsa por la tobera cada segundo es \(q = \frac{0,23}{1,1} = 0,253 kg/s\).

En la décima de segundo que ha durado el video, el cohete perdió entonces apenas 0,023 kg de masa, lo cual es poco más del 1% de la masa total del cohete. Vamos a considerar que la masa del cohete ha sido casi constante en esa primer décima de segundo.

Con la masa total del cohete \(m\) y la aceleración \(a\), obtenida del video, se puede determinar la fuera neta, \(F_N\), que actuó sobre el cohete. De acuerdo con la segunda ley de Newton la fuerza neta es igual al producto de la masa por la aceleración:
\[F_N = m \times a = 710 N\]

Sobre el cohete actúan tres fuerzas: el peso, \(m g\), hacia abajo, la fuerza de resistencia del aire, \(F_a\), hacia abajo y el empuje del motor, \(F\), hacia arriba, de modo que se cumple que:
\[F_N = F –  m g – F_a\]

Entonces teniendo en cuenta que el peso del cohete es de unos 18 N (estamos obviando el pequeño ángulo con la vertical en esta estimación) y que la fuerza de resistencia del aire a esas velocidades se puede estimar menor a 1 N, se llega a la conclusión que la fuerza de empuje del cohete es aproximadamente,
\[F = 730 N\]

La propulsión del cohete se consigue expulsando gases a muy alta velocidad. Es un ejemplo paradigmático de la tercera ley de Newton. El cohete empuja a los gases hacia atrás y los gases impulsan al cohete hacia adelante. Esa fuerza de empuje se puede demostrar que es igual al producto del caudal de masa \(q\) por la velocidad relativa, \(v\), de los gases de escape (estamos despreciando los términos debidos a las presiones). Es una de las clásicas ecuaciones de los cohetes:
\[F = q \times v \]

Entonces la velocidad relativa a la que se expulsan los gases en este cohete, resulta ser:
\[v = \frac{F}{q} = \frac{730}{0,25} = 2,9 km/s\]

El impulso específico \(I\), es una cantidad utilizada para caracterizar el poder de los combustibles para cohetes. Se mide en segundos y se define como:
\[I = \frac{F}{q g}\]

Finalmente, el impulso específico inicial para este cohete resulta ser aproximadamente
\[ I = 290 s\]

Este valor es coherente para ciertos combustibles sólidos, aunque un poco alto para el Candy utilizado en este modelo.

Nota relacionada:
«Telemetría y física del Falcon Heavy»

https://redlbc.files.wordpress.com/2018/09/065cf-captura1.jpg?w=300