Una botella de té como resonador universal de Helmholtz

La resonancia es un fenómeno omnipresente en muchos sistemas físicos. En particular, la resonancia del aire en cavidades fue estudiada por Hermann von Helmholtz en la década de 1850. Originalmente utilizados como filtros acústicos, los resonadores de Helmholtz son cavidades de paredes rígidas que resuenan a determinadas frecuencias. Un tipo de resonador ajustable es el denominado resonador universal de Helmholtz, un dispositivo que consiste en un cilindro con un pistón deslizante en su interior, capaz de producir sonidos en un rango continuo de frecuencias. Aquí proponemos un experimento simple usando un teléfono inteligente y una botella de té normal, con una sección cilíndrica casi uniforme, que, llena de agua en diferentes niveles, imita un resonador universal de Helmholtz. Soplando a ras de la botella, se producen diferentes sonidos. Aprovechando la gran capacidad de procesamiento de los teléfonos inteligentes, se obtienen en tiempo real los espectros de sonido junto con las frecuencias de resonancia. En la Fig. 1 se muestra el montaje del experimento.

Los resonadores de Helmholtz consisten en contenedores de pared rígida, usualmente hechos de metal, cerámica o vidrio, con una cavidad de volumen V y un cuello de radio R (\( R = D/2 \)) y sección de área A (\( A = \pi R^2 \)) y longitud L, como se muestra en la Fig. 2. Los resonadores de Helmholtz ha sido utilizados como filtros acústicos, debido a que resuenan a una frecuencia dada por (ver ref. 1):

\[ f = \frac{c}{2 \pi} \sqrt{\frac{A}{V L’}} \]

En esta expresión c es la velocidad del sonido y L’ es la longitud efectiva del cuello. En el caso del extremo interior que tiene pestaña (donde el cuello se abre hacia la cavidad interior) el factor de corrección es \( L’ = L + 8/(3 \pi) R \approx L + 0,8488 R\). Mientras que en el extremo exterior, sin pestaña, la corrección es \( L’ \approx L + 0,6133 R\)*. La corrección total para el caso de la botella es entonces \( L’ \approx L + 1,4621 R\)**. Las expresiones anteriores son válidas siempre que las dimensiones lineales de la botella sean más pequeñas que la longitud de onda típica (\( L<<\lambda, D<<\lambda, h<<\lambda\)). Un resonador universal de Helmholtz es un tipo especial de resonador en el que el volumen se puede variar, dando como resultado un rango de frecuencias de resonancia.

Hay varios ejemplos de experimentos de física que usan teléfonos inteligentes en el campo de la acústica (ver referencias 2-9). En algunos de ellos, el teléfono inteligente se usa como micrófono para digitalizar el sonido o como fuente de sonidos puros o más complejos (refs 2-4). Una ventaja importante de los teléfonos inteligentes, que no siempre se tiene en cuenta, es su capacidad para procesar rápidamente mucha información y en particular para obtener espectros de sonido en tiempo real (refs. 5-9).

Para obtener el volumen de la cavidad, se comienza el experimento colocando la botella vacía en una balanza y poniéndola a cero. Después de eso, la botella se llena de agua hasta el cuello (7,0 cm por debajo de la abertura) y la lectura en la balanza, en este caso, 435 g, indica el volumen de la cavidad, es decir \( V_0 = 435 cm^3 \).

A continuación, la botella se llena de agua en diferentes niveles. Para cada nivel de agua, el volumen de la cavidad de aire se obtiene restando la lectura de la balanza del valor con la botella llena. Se sopla a ras de la botella, con el labio inferior tocando el borde hasta que se produce una resonancia en la cavidad, claramente apreciable como un tono puro. Al mismo tiempo, con la aplicación Advanced Spectrum Analyzer se obtiene el espectro del sonido en tiempo real y el pico más alto que corresponde a la frecuencia de resonancia, como se muestra en la Fig. 3. El botón de pausa de la app es útil para congelar la pantalla y poder anotar la frecuencia. Se repite el procedimiento midiendo diferentes frecuencias de resonancia al variar el volumen de agua en la botella.

Masa de agua (g) – Frecuencia de resonancia (Hz)

0,0 – 234

22,5 – 244

48,5 – 250

58,5 – 255

79,3 – 258

102,9 – 269

125,0 – 277

139,3 – 285

159,7 – 296

189,0 – 309

210,8 – 320

222,9 – 331

239,9 – 341

En la Fig. 4 mostramos la relación linealizada entre la frecuencia de resonancia y el volumen de la cavidad, específicamente graficamos la frecuencia al cuadrado en función del inverso del volumen. Es importante notar las longitudes de onda de las resonancias medidas están entre 1 y 1,5 m, que son mucho más grandes que las dimensiones lineales de la cavidad, condición necesaria para que sea válido el modelo de Helmholtz que estamos utilizando.

De acuerdo con la ecuación de Helmholtz, la velocidad del sonido c está relacionada con la pendiente que es \( \frac{c^2 R^2}{4 \pi \left( L + 1,46 R \right)} \). En nuestro experimento, la velocidad del sonido obtenida es \( c = 344(5) m/s \), lo que resulta en una incertidumbre menor al 2%. Teniendo en cuenta que la temperatura ambiente era de \( 22,3 ºC \) (Fig. 5), el valor obtenido muestra una gran concordancia con el valor de referencia, \( 344 m/s \), a esa temperatura. Observamos que hay al menos un par de fuentes incontrolables de incertidumbres en esta experiencia: por una parte la temperatura del aire soplado es un poco mayor que la temperatura ambiente y por otra parte las condiciones de contorno en la apertura se modifican por la proximidad de los labios al borde la botella.

En resumen, presentamos un experimento muy simple usando material cotidiano para estudiar la resonancia acústica. Este experimento se basa en la gran capacidad de procesamiento de los teléfonos inteligentes para obtener espectros en tiempo real. El resultado obtenido para la velocidad del sonido está en concordancia con el valor estándar.

Esta nota es una versión adaptada del artículo:

Monteiro, Stari, Cabeza, Martí (2018)

1. Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B., & Sanders, J. V. (1999). Fundamentals of Acoustics, 4th Edition, Wiley-VCH.

2. Kuhn, J., & Vogt, P. (2013). «Analyzing acoustic phenomena with a smartphone microphone»

The Physics Teacher, 51(2), 118-119.

3. Yavuz, A. (2015) «Measuring the speed of sound in air using smartphone applications»

Physics Education, 50(3), 281.

4. Kasper, L., Vogt, P., & Strohmeyer, C. (2015). «Stationary waves in tubes and the speed of sound» The Physics Teacher, 53(1), 52-53.

5. Parolin, S. O., & Pezzi, G. (2013). «Smartphone-aided measurements of the speed of sound in different gaseous mixtures» The Physics Teacher, 51(8), 508-509.

6. Monteiro, M., Martí, A. C., Vogt, P., Kasper, L., & Quarthal, D. (2015). «Measuring the acoustic response of Helmholtz resonators» The Physics Teacher, 53(4), 247-249.

7. Hirth, M., Kuhn, J., & Müller, A. (2015). «Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology» The Physics Teacher, 53(2), 120-121.

8. González, M. and González, M. (2016). «Smartphones as experimental tools to measure acoustical and mechanical properties of vibrating rods» European Journal of Physics, 37(4), 045701

9. R. Jaafar, S. Kadri Ayop, A. Tarmimi, K. Keng Hon, A. Nazihah Mat Daud, and M. Helmy Hashim (2016). «Visualization of Harmonic Series in Resonance Tubes Using a Smartphone» The Physics Teacher 54(9), 545 – 547.

10. Levine, H. & Schwinger, J. (1948). «On the radiation of sound from an unflanged circular pipe», Physicsl Review 73(4).

* Nota: Según Kinsler (ref. 1), el factor de corrección de un extremo sin pestaña es 0,6. El valor de 0,6133 lo tomamos del artículo de Levine y Schwinger (ref. 10) (ver Fig. 6)

** Nota: Una curiosidad es que la corrección total para un tubo que no tiene pestaña en un extremo y que tiene pestaña en el otro es redondeada a 1,4 en la versión original del Kinsler (ref. 1) y redondeada a 1,5 en la versión traducida al español. En realidad el valor correcto debe obtenerse como la suma de la corrección de extremo con pestaña más la corrección de extremo sin pestaña, que es la que hemos utilizado aquí: 0,8488+0,6133=1,4621.